MATEMÁTICAS- DERIVADAS
Las matemáticas hacen la vida más fácil y ordenada para evitar el caos y las confusiones. Ciertas cosas, cualidades y habilidades promovidas por las matemáticas son la resolución de problemas, la creatividad, el pensamiento crítico y la capacidad de razonar y comunicarse de manera efectiva.
Es importante conocer cada vez mas sobre algunos temas interesantes en este campo de trabajo, hoy veremos LAS DERIVADAS.
Qué es la derivada de una función?
La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea. Las derivadas son herramientas fundamentales en todas las ciencias, un ejemplo de ellas es la Física.
Para comprender mejor la anterior definición, veamos unos ejemplos.
Ejemplo 1
Determinar la derivada de la expresión dada usando la definición de límites.
En el desarrollo de estos ejercicios llevamos a cabo 4 pasos, desarrollándolos de la siguiente manera.
paso 1 Calcular f(x+h)
paso 2 Hallar la diferencia f(x+h)-f(x)
paso 3 Calcular el cociente (f(x+h)-f(x))/h
paso 4 Hallar el límite cuando h tiende a 0 (cero)
paso 5 Graficar
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
Si ambas derivadas laterales son distintas en el punto en cuestión, entonces la función no es derivable en dicho punto.
Ejemplo 2
paso 1 Escribimos f como una función a trozos
paso 2 Calculamos las derivadas laterales en el punto de separación x=0
Puesto que las derivadas laterales en son distintas, entonces la función no es derivable en dicho punto.
paso 3 graficar
Más ejemplos
Reglas de derivación
1. Derivada de una constante: La derivada de una constante es 0 (cero).
2. Derivada de una potencia entera positiva: la derivada de x ʌn es x ʌn-1.
3. Derivada de una constante por una función: su derivada es la constante por la derivada de la función.
4. Derivada de una suma: tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado.
5. Derivada de un producto: la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
6. Derivada de un cociente: la regla para la derivada de un cociente es:
la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.
7. Derivada de una función trigonometrica: debemos tener en cuenta las siguientes formulas.
8. Regla de la cadena: Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)ʌ4, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.
9. Teorema 14: La derivada de una potencia entera de una funcion f.
Problemas
Debes tener en cuenta los pasos que estudiamos al inicio de este articulo.
